Найти высоту конуса наименьшего объема,описанного около полушара радиуса R (цент...

Сегодня примерно в 20:17 на наш email ящик поступил вопрос, который наши модераторы от-несли к категории Разное. Постараемся дать на него полноценный ответ.

Тема вопроса с пояснением

Найти высоту конуса наименьшего объема,описанного около полушара радиуса R (цент основания конуса лежит в центре основания шара)

Ответ с привлечением экспертов

Среди нашей команды есть эксперты, которые успешно отвечают на вопросы из рубрики "Математика". Напомним, что вы задали следующий вопрос:

И сразу же ответим на него:

После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны пола-гать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:

Пусть O — центр полушара и основания конуса, S — вершина конуса, T — точка на основании конуса. Рассмотрим сечение TSO. Высота OU треугольника OTS равна R (образующая TS касается полушара) . Обозначим ∠STO = α, ∠OST = 90° − α. Из треугольников OSU и OTU находим радиус основания (OT) и высоту (OS) конуса:

r = R/sin α,
h = R/cos α.

V = ⅓πr²h = ⅓πR³/(cos α sin² α) = ⅓πR³/(cos α − cos³ α).

Функция t − t³ (t = cos α, 0 < t < 1) принимает наибольшее значение в нуле производной 1 − 3t², то есть при t = 1/√3. Оно равно 2/(3√3).

Минимальное значение объёма равно ⅓πR³/(2/(3√3)) = ½πR³√3.