Докажите, что множество иррациональных чисел не замкнуто относительно сложения.

Сегодня примерно в 11:38 на наш email ящик поступил вопрос, который наши модераторы от-несли к категории Разное. Постараемся дать на него полноценный ответ.

Тема вопроса с пояснением

Ответ с привлечением экспертов

Среди нашей команды есть эксперты, которые успешно отвечают на вопросы из рубрики "Алгебра". Напомним, что вы задали следующий вопрос:

Докажите, что множество иррациональных чисел не замкнуто относительно сложения.

И сразу же ответим на него:

После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны пола-гать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:

Для того чтобы доказать, что множество не замкнуто, нам достаточно найти два иррациональных числа - сложить их и в результате получить рациональное число. То есть сумма двух иррациональных чисел не всегда иррациональна, то есть не замкнуто на иррациональности.
Возьмем простейшее иррациональное число √2 и соответсвенно -√2
сложим √2 + (-√2) = √2 - √2 = 0
0 число рациональное . Тем самым мы нашли два иррациональных числа, которые при сложении дают рациональное число
Так же доказывается незамкнутость иррациональных чисел при
1. разности 1+√3 и √3 равна 1
2. произведении √2 и 2√2 равно 4
3. делении 2√2 и √2 равно 2
---------------------------
Докажем что √2 иррациональное число
Предположим что оно рациональное то есть его можно представить в виде несократимой дроби √2=a/b где a , целые и взаимнопросты (в противном случае они бы сократились) замечаем что a b оба не четные (если бы были оба четными то сократились на 2)
Возводим в квадрат 2=a²/b² 2b²=a² замечаем что число 2b² четное, значит и a² тоже четное. заменяем a=2c и подставляем в 2b²=(2c)²=4c²
b²=2c² получили что и b четное. То есть a b четные и их можно сократить, но мы предполагали что они взаимнопросты, и тем самым допустили противоречие. Значит √2 нельзя представить в виде дроби и оно иррациональное число