Реферат - Решение уравнений в целых числах

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений. В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты, полученные в теории; решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в нем, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты. 1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным (1) Пусть коэффициенты уравнения и - целые числа. Ясно, что решение этого уравнения будет целым числом только в том случае, когда нацело делится на Таким образом, уравнение (1) не всегда разрешимо в целых числах; так, например, из двух уравнений и первое имеет целое решение С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратное уравнение имеет целые решения в целых числах неразрешимо, так как его корни Вопрос о нахождении целых корней уравнения n -ой степени с целыми коэффициентами (2) решается легко. Действительно, пусть - целый корень этого уравнения. Тогда Из последнего равенства видно, что делится без остатка; следовательно, каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободного члена уравнения. Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те из делителей только -1 является корнем. Следовательно это уравнение, имеет единственный целый корень в целых числах неразрешимо. Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнении с многими ...